Neyman randomizált, kontrollált vizsgálatot — statisztikai alapok

Az előző részben bemutattam, a kontrollált vizsgálat alapjait, és eljutottunk annak felismeréséig, hogy az Átlagos Kezelési Hatás naiv alkalmazása teljesen rossz eredményt produkálhat bizonyos esetekben. Azután megnéztük Fisher módszerét a probléma megkerülésére. A mai bejegyzésben megnézzük, hogy mit tehetünk ha nem akarjuk megkerülni a problémát.

---

Jerzy Neymant nem a „sharp” Hulla érdekelte; Fisherrel ellentétben; hanem az „Átlagos Kezelési Hatás”. Viszont azt állítani, hogy a kezelésnek általában nincs hatása sokkal gyengébb állítás, mint azt állítani, hogy egy esetben sincs. Könnyen előfordulhat olyan eset, hogy egyes esetekben javít, másokban ront a kezelés az eredeti állapoton.

Ennek megfelelően Neyman Null hipotézis:

(1)  

Ahol:

• — az ATE, később kiderül miért használok másfajta jelölést itt

Az ATE számítása egyszerű. A bonyolultabb kérdés a konfidencia intervallum számítás. Magyarul menyire vagyunk biztosak a számított Átlagos Kezelési Hatás értékében? Értelemszerűen ehhez pedig annak a szórását kell kiszámolnunk.

Neyman esetében volt még egy fontos eltérés Fishertől. Őt nem az aktuális csoportra vonatkozó hatás érdekelte, hanem az “univerzális”. Vagyis az a kezelési hatás ami mindenkire, azokra is akik nem kerültek be a vizsgálatba, is vonatkozik. Ennek megfelelően a mintavételt is eltérően közelítette meg. Számára ez csak a “szuper-populáció” része. Ennek a szuper-populációnak a ATE-ját jelöljük . Ez lényegében az az Átlagos Kezelési Hatás, amit akkor kapnánk, ha a szuper-populációnak minden egyes tagját megmérnénk. Persze ez nem lehetséges, ezért szükséges megkülönböztetni a mintavételből számolt ATE-től, a -tól.

Ha ebből a szempontból tekintünk az Átlagos Kezelési Hatásra, és emlékszünk a Centrális határeloszlás-tételre akkor, senki nem fog meglepődni ha azt mondom, aszimptotikusan a a -hoz tart. Az eltérés eloszlása pedig egy normál eloszlás lesz, aminek az átlaga 0, a varianciája pedig:

(2)  

Ahol:

• — az minta teszt értéke
• — az minta kontroll értéke
• — a szuper-populáció teszt értéke
• — a szuper-populáció kontroll értéke

Amit átírhatunk így:

(3)  

Ebből az első két rész becslése elég egyszerű: behelyettesítjük a mintából számolt értékeket. A kérdés mi a harmadik rész? 0 a null hipotézis alapján.

A fentiek alapján, néhány átalakítás után Neyman eljutott addig, hogy a ATE varianciája a mintában:

(4)  

Ahol:

• — az összes mintanagyság, vagyis teszt és kontroll csoport összesen
• — a teszt csoport nagysága

Itt már csak az a probléma, hogy nem ismerjük a szuper-populáció szórásait. De Slotsky alapján ezt behelyettesítjük a mintából becsült értékekkel. Így a Null hipotézis alatt becsült varianciánk így alakul:

(5)  

Ezzel lényegében meg is oldottuk a Null hipotézis tesztelését. Tudjuk mi az elvárt értéke, az ATE, és tudjuk annak a varianciáját, amit az (5) add meg. Mikor fogjuk elutasítani a null hipotézist? Ha a 0 érték az szignifikációs szinten kívül helyezkedik el.

Maradva az előző részben említett példánál számoljunk egy kicsit:

(6)  

(7)  

(8)  

(9)  

Tehát a konfidencia intervallum, ha = 5%:

(10)  

(11)  

Elutasíthatjuk ez alapján a Null hipotézist? Nem. Vagyis nincs elég bizonyítunk arra nézve, hogy az Átlagos Kezelési hatás nem 0. Ha akarjuk a p értéket is kiszámíthatjuk hozzá:

(12)  

(13)  

Ez elég távol van az áhított 0.05-től.

Irodalom

• Imbens és Rubin: Causal Inference for Statistics, Social, and Biomedical Sciences — Neyman’s Repeated Sampling Perspectivein Completely Randomized Experiments