Az improper prior egyszerűen az jelenti, hogy a prior eloszlás nem integrálható 1-re. Értelemszerűen ennek a definíciónak csak folytonos eloszlások esetén van értelme. Nehéz ilyen priort találni? Nem igazán. Például Béta eloszlás ahol alfa és béta egyaránt 0.:
(1) 
Nézzük meg mi ennek az integráltja, vagyis a:
(2) 
Ami így néz ki:
Ez nem fog működni, mivel 
Számít ez, és ha igen, akkor mit tehetünk ilyenkor? Ugye a posterior eloszlásnak muszáj integrálhatónak lennie 1-hez, különben egyáltalán nem eloszlás, tehát számít. Ha proper, akkor egyszerű dolgunk van ebben a kérdésben, mert biztos, hogy integrálható lesz az eredmény. Viszont ha improper akkor egy kicsit figyelmesebbnek kell lennünk. Lényegében csak posterior fontos nekünk, szóval amit elvárunk, az, hogy az legyen integrálható, pontosabban annak a számlálója:
(3)
Teoretikusan ez nem működik. Viszont gyakorlatilag közelítő eredményt kaphatunk. Maradva a fenti példánál, ha az (1) priort egy Bernoulli eloszlás megfigyelésével párosítjuk, akkor értelmes eredményt kapunk. Ez annak köszönhető, hogy a Bernoulli megfigyelések likelihoodja egy Béta eloszlást eredménye, ahol az alfa a sikerek száma+1, míg a béta a kudarcok száma+1. Tehát a likelihood
(4) 
Aminek megfelelően a (3) így alakul:
(5) 
Elvégezve a szorzást:
(6) 
Ami ugye egy másik Béta eloszlást eredményez:
(7) 
Ez integrálható? Igen. Tehát használni tudtuk az improper priort, de ehhez annak a szerencsés egybeesésnek kellet teljesülnie, hogy a likelihood eloszlása pont illeszkedett a priora. Ez nem lesz mindig így.
Sajó Zsolt Attila 