Szórásnégyzet – statisztika alapok

A sorozat célja, hogy a Statisztika alap fogalmait tisztáz minél közérthetőben.


Lényegében annak a mértéke, hogy egy valószínűségi változó menyire tér el a várható értéktől. Pontosabban mint ahogy a neve is mutatja ennek az eltérésnek a négyzete. Hogy miért a négyzetre emelés? Mert ez deriválható. Nézzük a definicióját diszkrét esetre:

(1)  Var(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2

Ahol:

Folytonos esetre, ahogy szoktuk csak kicseréljük az összeadást integrálra:

(2)  Var(X) = \sigma^2 = \int (x - \mu)^2 \cdot f(x) \text{ dx}

A gyakorlati életben inkább a következő formulával számítjuk:

(3)  Var(X) = E[X^2]- (E[X])^2

Ahol:

  • E[X^2] — az X^2 elvárt értéke
  • E[X] — az X elvárt értéke

Ezek számítása a várható értéktől szóló bejegyzés alapján nem triviális szóval talán ne is vesztegessünk rá időt, csak gyorsan nézzünk meg egy példa számítást. Mi a szórásnégyzete ha az eloszlás a következő sűrűségfüggvényt követi1:

(4)  f_{\theta }(x) = \frac{x}{\theta^2} \cdot exp\left(-\frac{x^2}{2 \theta^2} \right)   \,  \mathrm{d}x

Elöszőr számítsuk ki az (1)-ben szereplő két várható értéket:

(5)  E[X] = \int_0^{\infty}\! x \cdot \frac{x}{\theta^2} \cdot   exp\left(-\frac{x^2}{2 \theta^2} \right)    \,  \mathrm{d}x  =  \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot\theta

(6)  E[X^2] = \int_0^{\infty}\! x^2 \cdot \frac{x}{\theta^2}  \cdot  exp\left(-\frac{x^2}{2 \theta^2} \right)    \,  \mathrm{d}x =  2\cdot\theta^2

Végül a szórásnégyzet:

(7)  Var[X] =  2\cdot\theta^2 - ( \sqrt{\frac{\pi}{2}}  \cdot\theta )^2 = (2- \frac{\pi}{2} ) \cdot \theta^2

Kész.

Értelemszerűen lehet mintára is számítani. Ebben az esetben az átlag a minta átlaga lesz.

Szórás

Egyszerűen a szórásnégyzet gyöke.

Tulajdonságai

  • Mindig pozitív.
  • Var(X+a) = Var(x) — eltolás nem befolyásolja
  • Var(a\cdot X) = a^2\cdot Var(x) — szorzás hatására a szorzó négyzetével nő.
  • Var(a\cdot X + b\cdot y) = a^2\cdot Var(X) +  b^2\cdot Var(Y)  + 2\cdot a \cdot b \cdot Cov(X,Y) — két valószínűségi változó összeadása esetén azok kapcsolata is befolyásolja a változást.


Hírdetés

Szórásnégyzet – statisztika alapok” bejegyzéshez 3 hozzászólás

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Kapcsolódás: %s