Valószínűségi fa — statisztikai alapok

A mai bejegyzésben egy egyszerű valószínűségi számításban használt ábrázolással ismerkedünk meg.

---

Valószínűségi fa

In medias res, kezdjük egy példával, hogyan is néz ki egy valószínűségi fa. Legyen egy érménk és dobjuk fel, a lehetséges eredményt így ábrázolhatjuk valószínűségi fával:

A fenti ábra igazság szerint csak egy irányított körmentes gráf. Vagyis egyetlen egy irányba haladhatunk az éleken és nem tudunk a kiinduló csúcsba visszajutni. Gondolom egyértelmű miért “fa”. Mert úgy néz ki. “Valószínűségi” pedig azért, mert a “csúcsok” eseményeknek felelnek meg, az élek az események eredményének. Minden élhez lehetséges súlyt is rendelni, ami pedig az eredmény valószínűsége lesz. Innen gondolom egyértelmű, hogy az egy csúcsból kiinduló események összege 1. Ez annyira egyszerű, hogy nem is lenne értelme foglalkozni vele. Ami miatt érdekes, hogy a fenti egyszerű elemből többet is egymáshoz kapcsolhatunk. Nézzük például azt az esetet: ha két érménk van, és mindkettőt feldobjuk:

A fenti fa leírja nekünk az A és B érme feldobása esetén kapott összes lehetséges eredményt, és minden egyes lehetséges kimenet valószínűségét is könnyen kiszámíthatjuk. Ehhez csak össze kell szorozni az adott eredményhez vezető események súlyait. Mint látható az összes lehetséges kimenet valószínűségeinek összege szintén egy.

Az egyik jó dolog a valószínűségi fában, hogy ha egyszer megrajzoltuk, akkor több kérdést is lehetséges megválaszolni a segítségével. A fenti ábra egyszerre megadja számunkra annak a valószínűségét, hogy “Legalább az egyik érme fej”:

És azt is, hogy “Csak az egyik fej”:

Szintén érdemes megjegyezni, hogy a csúcsoknak nem kell függetlennek lenniük egymástól. Nézzünk egy példát arra, amikor nem azok: rendőrségi kihallgatáson vesz részt egy gyanúsított, aki 80% valószínűséggel elkövette a bűncselekményt, és ezt vagy bevallja vagy nem. Értelemszerűen a valódi elkövetők vagy bevallják vagy nem a tettüket. Viszont bármilyen meglepő olyan is van, hogy ártatlanok hamisan vádolják magukat. Egy tudományos kutatás alapján, ha nincs semmiféle vádalku, akkor a bűnösök 46%-a vallja be a tettét, és az ártatlanok 6% hamis vallomást tesz. Ezt az helyzetet így lehetne valószínűségi fával ábrázolni:

A fenti példánál a bevallás valószínűsége egyáltalán nem független attól a ténytől, hogy ártatlan vagy bűnös a kihallgatott.

Végezetül egy kis terminológia útmutató:

• Gyökér (angolul: root) — a fa kiinduló csúcsa, a fenti ábrán az A csúcs.
• Ág — olyan csúcs, amiből újabb csúcsok következnek. A fenti ábrán az öszes B csúcs.
• Levél — olyan csúcs, amiből nem nő új ág. A fenti ábrán a C háromszögek.

A hamarosan következő bejegyzésben megnézzük, hogy találhatjuk meg a valószínűségi fát abban az esetben, ha nem ismerjük az egyes esetek bekövetkezésének valószínűségét.