A többdimenziós Centrális határeloszlás-tétel

Egy korábbi bejegyzésben láttuk a Centrális határeloszlás-tétel (CHT) alapjait. Most egy kicsit tovább visszük ezt és megnézzük mi a helyzet több dimenzió esetén.


Több dimenzió esetén a megfigyeléseinket felfoghatjuk vektoroknak is, mi is ezt fogjuk tenni. Ha így teszünk – nem túl nagy logikai ugrással – úgy tekinthetünk a CHT-ra mint véletlenszerű vektorok átlagára vonatkozó tételre.

Ennek megfelelően az előző bejegyzésben szereplő (3)-ast felírhatjuk így:

(1)  \sqrt{n} (\bar{X}-\mu)   \xrightarrow[n \to \infty]{d}   N_d \left ( 0, \Sigma \right)

És a (4)-est pedig mint:

(2)  \sqrt{n} \cdot \Sigma^{-1/2} \cdot (\bar{X}-\mu)   \xrightarrow[n \to \infty]{d}   N_d \left ( 0, I_d \right)

Ahol:

Ebből az egészből egyedül a \Sigma értéke igényel egy kis figyelmet. Látni kell, hogy a \Sigma^{-1/2}  egy d x d dimenziójú mátrix lesz amire igaz, hogy:

(3)  \Sigma^{-1/2}  \cdot  \Sigma^{-1/2}  = \Sigma^{-1}

Ez a szerencsénk, mivel Covariance mátrixról beszélünk, tudjuk, hogy az értéke mindig pozitív, tehát a fenti feltétel mindig1 igaz.

Példa

Nézzük a következő esetet: van n darab d dimenziós i.i.d megfigyelésünk az X eloszlásból. Nevezzük őket X_1,  X_2, \dots X_n -nek. Ezeknek a megfigyeléseknek az átlaga egy szintén d dimenziós vektor a E[X] , vagy másképpen \mu_X .

Legyen Y ennek az X -nek a függvénye, mégpedig: Y = v^T\cdot X    . Ahol v egy vektor, amire igaz, hogy v \in \mathbb{R}_d . Vagyis a különböző dimenziók irányában nem feltétlen egyforma a transzformációnk, de minden X értéket ugyanazzal a vektorral módosítunk. Ennek megfelelően az átlaga:

(4)  E[Y] = v^T \cdot E[X]

A szórásnégyzete pedig a lineáris algebrának megfelelően felírva:2

(5)  Var(Y) = v^T \cdot \Sigma_{X} \cdot v

A Centrális határeloszlás-tétel alapján ilyenkor az Y -re igaz, hogy:

(6)  \sqrt{n} (\bar{Y}-  v^T \cdot E[X] )   \xrightarrow[n \to \infty]{d}   N_d \left ( 0,  v^T \cdot \Sigma_{X} \cdot v  \right)

Lábjegyzet

  1. Na jó, nem mindig. Ha a szórás 0 akkor nem, de ezek extrém esetek.
  2. Ugye a Var(a\cdot X) = a^2 \cdot Var(X). Ami ha vektorformában írjuk fel: a^T \cdot Var(X) \cdot v
Hírdetés

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Kapcsolódás: %s