A többdimenziós Delta módszer

Korában megnéztük a Delta módszert abban az esetben, ha csak egyetlen paramétert kell megbecsülnünk. A mai bejegyzésben általánosítjuk ezt és megnézzük, hogy mit teszünk több paraméterű eloszlások esetén.


A többdimenziós Centrális határeloszlás-tételről szóló bejegyzésben láttuk, hogy:

(1)  \sqrt{n} (\bar{X}-E[X])   \xrightarrow[n \to \infty]{d}   N_d \left ( 0, \Sigma \right)

Ahol:

Ugye, ha a mintaátlag és a eloszlás paramétere megegyezik, itt meg is állhatunk, viszont ha nem akkor jön a Delta módszer.

A módszerről szóló korábbi bejegyzésben láttuk, hogy a tétel az mondja, hogy paraméterbecslésünk a következő Normál eloszlást fogja követni:

(2)  N \left (g(E[X]), \frac{(g'(E[X]))^2\cdot Var(X)}{n} \right)

Ezt a szabály kell több dimenzióra átültetnünk. Első lépésben rakjuk össze a két egyenletet:

(3)  \sqrt{n} (g(\bar{X})-g(E[X]))   \xrightarrow[n \to \infty]{d}   N_d \left ( 0,   g'(E[X]))^2\cdot \Sigma \right)

Amit vegyünk észre, hogy a megfigyelések dimenziója és a paraméterek száma nem feltétlenül ugyanaz. Jelöljük a keresett paraméterek számát k-val. Ebben az esetben a célunk az, hogy a d dimenziójú megfigyeléseket egy k dimenziójú paramétertérbe alakítsuk. Röviden írva: g: \mathbb{R}_d \to  \mathbb{R}_k  , ahol d \ge 1 és k \ge 1 .

Ha ebbe belegondolunk akkor látjuk, hogy egyszerre kell megvalósítanunk egy deriválást és egy dimenzió átalakítást. Nézzük meg ezeket külön-külön.

A d-ről k-dimenzióra alakítás, egy k számú független egyenlet lesz. Minden egyenletnek pedig d bementi paramétere van az eredeti dimenzióknak megfelelően. Így:

(4)  g(x) = \begin{bmatrix} g_1(x_1,\dots ,x_d) \\ g_2(x_1,\dots ,x_d) \\ \vdots \\ g_k(x_1,\dots ,x_d)\end{bmatrix}

Ennek megfelelően a g(x) egy k hosszúságú vektor lesz.

A deriválás (a ‘ helyett \nabla fogok a deriválás jelölésére használni, hogy tisztán megkülönböztessük az 1 és több dimenziós eseteket) dimenzió átalakítás nélkül, csak részderiválás a különböző dimenziókra. Vagyis:

(5)  \nabla g(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x_1} g_1(x) \\ \frac{\partial}{\partial x_2} g_1(x) \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial x_d} g_1(x) \end{bmatrix}

Ha ezt összerakjuk a dimenzió átalakítással akkor:

(6)  \nabla g(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x_1} g_1(x) & \frac{\partial}{\partial x_1} g_2(x) & \dots & \frac{\partial}{\partial x_1} g_k(x) \\ \frac{\partial}{\partial x_2} g_1(x) & \frac{\partial}{\partial x_2} g_2(x) & \dots & \frac{\partial}{\partial x_2} g_k(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial}{\partial x_d} g_1(x) & \frac{\partial}{\partial x_d} g_2(x) & \dots & \frac{\partial}{\partial x_d}  g_k(x) \end{bmatrix}

Ami egy d x k mátrix lesz.

Ha figyelembe vesszük a fentiek dimenzióit, a (3) vektor formában így írhatjuk fel:

(7)  \sqrt{n} (g(\bar{X})-g(E[X]))   \xrightarrow[n  \to \infty]{d}   N_d \left ( 0,    \nabla g(x) ^T \cdot \Sigma \cdot   \nabla g(x)   \right)

Vegyük észre, hogy a \nabla g(x)  lehet k x d mátrix is, ha így teszünk akkor a fenti képletben csak meg kell cserélnünk a transposet:

(8)  \sqrt{n} (g(\bar{X})-g(E[X]))   \xrightarrow[n   \to \infty]{d}   N_d \left ( 0,    \nabla g(x)  \cdot \Sigma \cdot    \nabla g(x) ^T    \right)

Ennyi lenne a többdimenziós Delta módszer. A közeljövőben igyekszek majd egy konkrét számítási példával is bemutatni.

Hírdetés

A többdimenziós Delta módszer” bejegyzéshez egy hozzászólás

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Kapcsolódás: %s