Q-Q ábra

A Q-Q ábra az egyik leggyakrabban szembejövő adatábrázolási mód. Lényegében ez egy vizuális “Goodness of fit” teszt, vagyis arra keresi a választ, hogy a mintánk eloszlása milyen eloszlásból származik. Nézzük hogyan és milyen információt tudunk leolvasni róluk.

---

Először kezdjük a névvel. Mindkét Q az angol “quantiles” szavak rövidítése, vagyis a kvantiliseké¹. Ebből nem nehéz kitalálni, hogy a minta és a feltételezett másik eloszlás összehasonlítására a teszt a kvantiliseket használja.Ehhez pedig a minta kvantiliseit használja.

A példa kedvért szimuláljunk egy mintavételt egy standard Normál eloszlásból:

import scipy.stats as stats
obs = stats.norm.rvs(0, 1, size=1000)

Ha most elkészítjük ezeknek az adatoknak a Q-Q ábráját akkor valami ilyesmit fogunk kapni:

import matplotlib.pyplot as plt
# Histogram 
plt.subplot(1,2,1)
# minta
plt.hist(obs, density=True, label="Minta")
# standard normál pdf sűrűségfüggvénye 
bins = [ (x-300)/100 for x in range(600)]
normalpdf = stats.norm.pdf(bins, 0, 1)
plt.plot(bins, normalpdf, label="N(0,1)")
# jelmagyarázat és cím
plt.title("A minta histogramja vs. N(0,1) ")
plt.legend()

# Q-Q ábra
plt.subplot(1,2,2)
stats.probplot(obs, dist="norm", plot=plt)
plt.title("Q-Q ábra ")

plt.show()

Mit is csináltunk itt? Vettük a megfigyelés eredményeit (obs) és összehasonlítottuk a standard normál eloszlással (dist=”norm” rész a kódban). Ha a két eloszlás megegyezik akkor, nem meglepő módon, a függvényre (a piros vonal az ábrán) kell illeszkednie a pontoknak. A fenti szinte teljesen illeszkedik. Nézzük mi van akkor ha ez nem igaz.

Ferde eloszlások

Mi van ha az mintánk valamelyik irányba eltér a feltételezett eloszlástól? Nézzük meg például egy balra eltolt függvényt:

obs = stats.skewnorm.rvs(-4, size=1000)

Majd jobbra eltolt:

Mint látható egy U alakú görbét kapunk eredményként ebben az esetben, aminek az irányából egyből, a hisztogram nélkül látható merre tér el a minta.

Kisebb vagy nagyobb függvényfarkak

Nézzük mi lesz, ha a farok vastagabb, mint pl, egy kis szabadsági fokú T eloszlásnál:

obs = stats.t.rvs(2, size=1000)

Most nézzük a keskenyebb esetet:

obs = stats.beta.rvs(2, 2, size=1000)

Minkét esetben egy elég jellegzetes S alakú függvényt kaptunk. A görbület irány az előzőhöz hasonlóan segítségünkre van annak megmondására, hogy melyik eset áll fent.

Összegzés

A Q-Q ábra egy egyszerű módja annak, hogy eldöntsük a mintán milyen irányban tér el egy feltételezett valószínűségtől. A fenti ábrák után jogosan merül fel a kérdés: jó jó, de mi értelme van ennek a hisztogrammal szemben? Amit vegyünk észre:

• A Q-Q ábrán minden pont ábrázolva van. Így például egyből lehet látni a maximum és minimum értékeket.
• Az emberek többsége pontosabban hasonlít össze két vonalat mint két területet.

Nézzünk erre egy példát. Az alábbi ábrán a hisztogram alapján azt gondolhatnánk, hogy az adatunk standard Normál, de ha megnézzük a Q-Q ábrát akkor látjuk, hogy ez nem igaz:

---

Lábjegyzet

1. A kvantilist lényegében felfoghatjuk, úgy minta a sorba-rendezett adatot sorszámát.