Nem egyenlő végtelenség

a.k.a Miért megszámolható a Racionális számok halmaza és miért nem a Valósoké?

Valószínűleg a lustaságom az oka annak, hogy reggel azon gondolkodtam: miért duplázzuk meg a valószínűségszámítást azzal, hogy ugyanazt a számítást felírjuk külön diszkrét és külön folytonos esetre.

---

Az diszkrét és folytonos esetek közötti egyetlen különbség az, hogy a diszkrét esetben Összegzést a folytonos esetben Integrált használunk. Nézzük például a valószínűségi Tömegfüggvényt¹ és a Sűrűségfüggvényt². Mind a kettő ugyanazt mutatja: mekkora a valószínűsége, hogy x értéket figyeljük meg a populációból.³ Nézzünk egy példát:

Mint tudjuk a teljes valószínűség a Sűrűségfüggvény alatti terület:

A Tömegfüggvény esetén pedig:

Ez eddig egyszerű, de mi van akkor, ha sokkal de sokkal több pontunk van a Tömegfüggvényben? Pl:

És mi van ha mondjuk végtelen sok pont? Az elég folytonosnak látszik nem? Nekem erről ez jutott eszembe:

Na mi ez? Igen-igen. A Darboux felső integrál számítás szemléltetése.

A határozatlan integrálás célját általában úgy szokták bevezetni, hogy: “az görbék alatti területek kiszámítására való”. Majd következik a fenti ábra.

Ebből a hozzám hasonló egyszerű lelkek azt gondolják, hogy az integrál lényegeben egyfajta Összegzés: Van egy rakás végtelenül kicsi szélességű oszlopunk és összeadjuk a területüket. De milyen kicsi az a végtelenül kicsi oszlop szélesség? Leibniz és Newton nemes egyszerűséggel nem foglalkoztak ezzel a kérdéssel, amiért sok kritikát kaptak később. Viszont mi megtesszük, nem mintha sokkal okosabbak lennék, hanem mert mások már elvégezték a munkát számunkra és mindig könnyű más tollaival ékeskedni. Tehát mi legyen ez a végtelenül kicsi szám? Ha mondjuk az mondom hogy legyen a legkisebb pozitív Racionális szám? Vagy inkább a legkisebb pozitív Valós szám? Mi az pont amikor azt mondjuk ez még diszkrét, (tehát összegezzük), de az már folytonos (tehát integráljuk).

Maga a definíciója a diszkrétnek megadja a választ erre a kérdésre. Diszkrét az ami megszámolható, a folytonos pedig nem. A folytonosság pedig alapfeltétele az integrálásnak. És ezzel elérkeztünk ahhoz, amiről lényegében írni szeretnék. Miért megszámolható a Racionális számok halmaza és miért nem a Valósoké?

Miért megszámolhatóak a Racionális számok?

Van egy számhalmaz, ami definíciója szerint megszámolható, ez a Természetes számok halmaza (jele az N). Ezt nekem úgy tanították az általános iskolában, hogy a pozitív egész számok halmaza.⁴ Ezek a számok a 0, 1, 2, 3, 4 … számok, és a dolgok számosságát jelentik. Ha erre emlékszünk, akkor már egy nem nagy logikai ugrással tudjuk, hogy valami csakis akkor megszámolható, ha egy az egyben le lehet vetíteni⁵ a Természetes számok halmazára.

Vagyis ha a Racionális számok (jele a Q) megszámolhatóak, akkor ez a vetítés lehetséges. De nincs itt valami ellentmondás? A Természetes számok a racionális számok alhalmaza nem?

Legalább mintha így tanítanák: minden N benne van az Egész számok halmazában (jele a Z), és minden Z benne van a Racionális számok halmazában. Logikus. De ha ez igaz akkor, nem kellene a Q halmaznak nagyobbnak lennie mint az N halmazé?

Nem. Ezt pedig először egy bizonyos Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nevű német matematikus ismerte fel. Neki köszönhetjük a megszámolható és megszámlálhatatlan halmazok megkülönböztetését.

A trükk ott van, hogy minden megszámolható ami sorba rendezhető. ??? Igen, itt bizony a természetes számok egy eltérő értelmezésével állunk szemben. Az N halmaz elemeit két oldalról közelíthetjük meg:

• egyrészt tekinthetjük mint: 0,1,2,3… — Ezeket nevezzük Kardinális számnak, és matematikába való bevezetésüket szintén Cantor-nak köszönhetjük. Értelmük lényegében megegyezik az elemszámával, vagyis a “Mennyi?” kérdésre válaszolunk vele. Például az {a, b, c, d, e} halmaznak 5 a kardinális száma, mivel 5 eleme van.
• másrészt mint: első, második etc. — A második értelmezést nevezzük Rendszámnak⁶, és a “Melyik?” kérdésre válaszolunk velük.

A Racionális számok pedig sorba rendezhetők. Mégpedig az alábbi módon:

Ez nagyon érdekes. Ez azt bizonyítja, hogy ugyanannyi Természetes számunk van mint ahány Racionális számunk. Menyi? Végtelen! De ez a két végtelen egyenlő.

Minden végtelen egyenlő, de a Valós számok végtelenje egyenlőbb

De akkor miért nem megszámolhatóak a Valós számok? Az is végtelen számú nem?

Igen! De ez a végtelen nagyobb mint az előző.

Ezt pedig a Átlós eljárással lehet könnyen bizonyítani. Na ki fedezte fel?

Úgy néz ki Cantor lendületben volt a Racionális számok megszámolása után és úgy gondolta akkor megnézi hány darab Valós szám van. Mint kiderült ez nem megszámolható. Ehhez először azt bizonyította, hogy 0 és 1 között megszámolhatatlan sok van. A bizonyítás első lépésében felírunk egy rakás racionális számot egymás után. Pl. nulladik legyen a 0,236436775676…, az első mondjuk 0,098473294543… és így tovább. Tegyük fel, hogy rengeteg időnk van és felírjuk az összes (végtelen mennyiségű) lehetséges Racionális számot. Ezután vegyük a felírt számok átlóját, a fenti képen pirossal jelöltem ezt. Ez átlón szereplő számjegyek egy számot adnak nekünk. A fenti példában: 0,293233992132… Ebből a számból készíthetünk egy új számot, méghozzá úgy, hogy az minden számjegyét kicseréljük egy számra ami nem egyezik vele, és 0-val vagy 9-el.⁷ Például az első kettes helyébe írjunk 7-et (bármit írhatunk kivéve 2, 0 és 9), a második 9 helyébe mondjuk 4-et. A lényeg csak, hogy ne egyezzen. Mit tudunk az így kapott számról (a példában 0,746894310875…)? Nem egyezik a nulladik számmal, mivel az első tizedesnél eltér tőle. Nem egyezik az első számmal, mivel a második tizedesnél eltérnek … Vagyis nem egyezik egyik számmal se a listán. És mit jelent ez, ha felírtuk mind a végtelen mennyiségű Racionális számot? Pontosan! Ez a szám nagyobb mint az a Természetes számok végtelenje.

Csodálatos! Egyrészt kiderült, hogy a végtelenek nagysága nem egyforma, másrészt, hogy több Valós szám van mint Természetes. A második következménye pedig, hogy a Valós számok halmaza nem megszámolható, tehát nem diszkrét. A csodálatos dolog, hogy két egymáshoz végtelenül közel lévő Racionális szám között is végtelen számú Valós szám van. Ez a folytonosság.

Röviden ez az oka annak, hogy mindent kétszer mondunk el a valószínűségszámításban…

---

Nem egyenlő végtelenség

a.k.a. miért nem integrálunk mindent?

Lássuk be: lusta vagyok. Ennek egyik következménye, hogy néha olyan dolgokon gondolkodom amin jó dolgos emberek nem. Valószínűleg ez az oka, hogy reggel azon gondolkodtam miért duplázzuk meg lényegében a valószínűségszámítást azzal, hogy ugyanazt a számítást felírjuk külön diszkrét és külön folytonos esetre.

Most ezt nem mondom el megint 🙂

---

Lábjegyzet

¹ Angolul: Probability mass function

² Angolul: Probability density function

³ Tudom-tudom. A Sűrűségfüggvénynél nincs a pont értéknek valószínűsége, és a terület fejezi ki az adott valószínűséget, míg a Tömegfüggvénynél van. De ez a különbség a számítás módjából következik. Most pont erről van szó. Miért használjuk az egyik vagy másik számítási módot.

⁴ Most hagyjuk azt kérdést, hogy a 0 az Természetes szám vagy nem.

⁵ Angolul ezt a nagyon szép: “Bijective mapping” kifejezéssel illetik.

⁶ Angolul: ordinal number

⁷ Miért diszkrimináljuk a 0 és 9 számjegyeket? Ha érdekel itt elolvashatod mit írtam erről.