Lusta vagyok, ennek következménye, hogy utálom a tizedestört formában felírt számokat. A következőkben egy olyan problémáról írok, ami igen fontos a matematikában, és tökéletesen illusztrálja a frusztrációmat. Ez pedig a 0.999… = 1 állítás. Kicsit messziről fogok indulni, a végtelen tizedes törtek definíciójától, de a kitartók jutalomként egy nem nagyon kommunikált, de annál jelentősebb XIX. századi változást láthatnak.
Kezdjük egy könnyű feladattal: Üsd be a számológépedbe: 2 / 3. Mi az eredmény: 0.666… vagy 0.666…67 ? A második! És minek kellene lennie? Az elsőnek.
Egyszer volt egy ősünk, akinek feltűnt, hogy tíz ujja van, és nem csak neki, hanem ez a legelterjedtebb konfiguráció az emberek között. Ezért “kézenfekvőnek” tűnt, hogy akkor számoljanak mindent 10 egységekben, így megszületett a tízes számrendszer. Ez annyira elterjedt, hogy napjainkban a gazdasági növekedésre veszélyesnek vélik, ha egy országban nem ilyen alapú mértékrendszert használnak.¹ Ennek matematikai vetülete a tizedestörtek rendszere. Ha ezt a tizedestört rendszert fel akarjuk írni közönséges tört rendszerben akkor ezt így tehetjük meg:
Ahol az a lényegében a számjegyek a tizedestörtben, tehát pl. f = 1.34 esetén a a₀ = 1, az a₁ = 3 az a₃ pedig 4. Az eredményt pedig átírhatjuk egyetlen p/q tört formába:
Ahol ugye p = 134 lesz míg q = 100. Vegyük észre a kettős arculatát az így felírt tört számoknak. Egyrészt ugye objektum, egy konkrét szám. Másrészt viszont művelet is. A p osztva q-val. Talán ezért érzem kellemesnek használni őket, teljesen illeszkednek a lustaságomhoz. Megspórolom velük az osztás elvégzésének feladatát. Most fordítsuk meg a folyamatot. Közönséges törteket írjunk át tizedes törtekre. Könnyű belátni, ha a tört nevezőjét fel tudjuk írni tízes számrendszerbeli formában akkor az átírás egy véges számjegyet fog eredményezni. Például:
De mi történik ha ez nem lehetséges? Mondjuk a egyharmad esetén:
Amit ha átrendezünk akkor:
Ez lehetetlen, mivel 3 nem osztója 10 egyetlen hatványának sem. Mit csinálunk ilyenkor? Felírjuk mint ismétlődő tizedestört:
Hurrá! Őszintén nehezen tudok ennél rondább dolgot elképzelni. A szép egyharmadunkat egy olyan számjeggyel akarjuk megjeleníteni, amit még normálisan se tudunk leírni. De nemcsak ez a probléma. Ahogy fentebb láttuk, nem csak mi nem tudjuk leírni, hanem például a számológép is másnak mutatja, mint ami valójában.
És ezzel megérkeztünk a matematika egy nevezetes állításához az 0.999… = 1-hez. Egy elég hosszú Wikipédia cikk foglalkozik a témával, amit értelmetlen lenne itt megismételni. Úgy gondolom egy igen fontos aspektusa nincs kihangsúlyozva, ezt szeretném itt megtenni. A belinkelt szöveg olyan kedves állításokkal van teli, azokra nézve akik nem fogadják el ezt az egyenlőséget mint:
Students who did not accept… not understand the representation for infinite decimals.⁴
Ugyanakkor azt is elismerik, hogy ez az egyenlet az egyik leggyakrabban elutasított állítás a matematika szakos hallgatók között.
Nézzük az alap példát, amit fel szoktak hozni, hogy meggyőzzék a kételkedőket: Ha valaki elfogadja, hogy 1/3=0.333…, és azt is, hogy 2/3=0.666… akkor elméletileg egyértelműen el kellene fogadni a 0.999.. = 1-et:
Ami:
Meggyőztek? Engem nem. Mégpedig a 0.333.. + 0.666… = 0.999…. kifejezést nem érzem magától érthetődnek, lévén én hátulról haladok előre az összeadás során és itt egyáltalán nem látom, hol lehetne elkezdeni ezt az összeadást.
Nézzünk egy erősebb bizonyítást: a végtelen sorozatok összegét felhasználó módszert. Az (1) képlet alapján:
Kiemelhetjük 9-et és a törteket átírhatjuk a 10 hatványaira:
Amit meg felírhatunk Összegzéssel is:
Na mi ez? Igen, ez egy geometria sor. És mihez konvergál egy geometrikus sorozat?
Tehát ez egy olyan geometriai sorozat ahol a = 1/10 és r = 1/10.⁴ Amit visszahelyettesítve:
Ami pedig 1. Voilà! Szóval a 0.999…-ből kiindulva a tizedes törtek közönséges törtekre való átírásán keresztül a geometrikus sorok határértéke segítségével bizonyítottuk, hogy 0.999…. = 1.
Meggyőztek? Engem nem. A problémám ezzel a bizonyítással az, hogy a geometriai sor határértékét úgy tekinti, mint egy számot amit a geometria sor el is ér. De tényleg el is éri? És most következik egy olyan válasz, amit mindig is utáltam hallani: Igen is, meg nem is. Mint az ügyes parasztlány a Mátyás király mesében. Hoz is ajándékot, meg nem is.
A probléma nem új eredetű. Emlékszünk Akhilleusz és a teknős történetére Zénón paradoxonjai közül? Lényegében ez ugyanaz a probléma. Ami később a XIX. században visszaköszönt az irracionális számok kérdésénél is.
Hogy is néz ki ez a geometrikus sor? Valami ilyesmi:
Ha innen nézem a két egyenes megegyezik. Ha viszont felnagyítanám az ábrát, akkor mindig tudnék olyan nagyítást találni, amikor a kettő nem egyezik. Ez a felismerés vezette el Augustin-Louis Cauchy, francia matematikust a határérték (ε, δ) formájú definíciójához. Az szokásos jelölése lényegében nem más mint:
Ez első ránézésre nem különös: ahogy x közelít a c torlódási ponthoz egyre közelebb kerül L-hez. Ami viszont nem látszik egyből, hogy x-nek nem kell elérni c-t ahhoz, hogy egyenlőnek tekintsük L-el. Ha x és L különbsége, a δ, kisebb mint egy ε hibahatár akkor L-t és x-et akkor már egyenlőnek tekintjük.
Mint jelent ez a geometria sorunkra nézve? Azt, hogy a sor elemszámának nem kell elérnie a végtelen⁵ menyiséget ahhoz, hogy felvegye a határértéket, elég ha ε hibahatáron belül van. Ennek van egy mellék következménye! Lényegében újradefiniáltuk az egyenlőség jelet. És ez itt nagyon fontos. Véleményem szerint ez az egész alapja a hallgatók tiltakozásának a 0.999… = 1 ellen. Az egyenlőség innentől fogva nem azt jelenti, hogy a két oldal azonos, hanem hogy a különbségük számunkra megfigyelhetetlenül kicsi.⁶ Az egyenlőség ilyen értelmű felfogása egyáltalán nincs kommunikálva, talán érthető is miért.
Van egy másik mellék következmény is. Ez alapján lényegében minden végtelen tizedes tört esetén megfigyelhetetlenül kicsi a távolság közte és a legközelebbi véges tizedestört között. Ezzel pedig azt mondjuk ki, hogy minden tizedes tört kétféleképpen írható fel: egyszer mint véges egyszer mint végtelen.⁷ Például a korában említett 6/5 felírható mint 1.2 és mint 1.1999…, az 1 pedig mint 0.999… Tehát választhatok, a szép törtemet ronda véges tizedestörtre, vagy borzalmas végtelen törtre írom át. Áldott a neved, tízes számrendszer!
Elfogadom-e az egyenlőség ilyen értelmű megközelítését? Nekem nem tetszik, szívem szerint lecserélném Aszimptotikus egyenlőségre⁷. Viszont ha igen, akkor tudok a végtelennel számolni, integrálni stb. Nem mellékesen a többség elfogadja, tehát ha egy nyelvet akarok beszélni velük, akkor el kell fogadnom.
Lábjegyzet
¹ Erre tökéletes példa az ISO mértékrendszer erőltetése mindenhol.
² LaTeX formula: f = a_0 \cdot 10⁰ + a_1 \cdot 10^{-1}+ a_2 \cdot 10^{-2} + \dots + + a_n \cdot 10^{-n}
³ Szabad fordításban: “A hallgatók akik nem fogadják el … nem értik mint reprezentálnak a végtelen tizedes törtek.”
⁴ Az a az első elem a sorozatban, míg az r a “common ratio” (mi ennek a magyar megfelelője?).
⁵ Ezt a megfigyelhetetlenül kis számot hívjuk “Infinitesimal”-nak, a jele pedig a fent már említett ε. Értéke 1/ω, ahol a ω a végtelent jelöli, tehát kisebb mint bármilyen Valós szám.
⁶ A végtelent nem is mint pont tekintjük ebben az esetben hanem mint folyamatot amit végtelenül sokszor ismétlünk.
⁷ Ez amúgy problémákat is okoz. Például ezért kell a Valós számok megszámolhatatlanságát bizonyító Cantor átlónál a 0 és a 9-et külön kezelni.
Sajó Zsolt Attila 
“Mr. 1 Csodaországban.” bejegyzéshez 2 hozzászólás